Anna Bartel begann nach Beendigung der Pflichtschule in einer Seifenfabrik zu arbeiten. 1904  heiratete sie Florian Gröger, der bald darauf Redakteur des "Volksrecht", einer sich an ArbeiterInnen richtenden Zeitung, in Usti nad Labem wurde. 1910 übersiedelte das Paar nach Klagenfurt und schloss sich auch dort der entstehenden ArbeiterInnenbewegung an.

Anna Gröger gehörte zu den frühesten Sozialdemokratinnen in Kärnten. Frauen sozialdemokratischer Kärntner Funktionäre hatten die ersten wichtigen Positionen in der Kärntner Frauenlandesorganisation inne. Neben Anna Gröger waren dies Anna Lukas und Marie Socher-Mahrer.

Zu Kriegsende sprach sich Anna Gröger dagegen aus weibliche Arbeitskäfte wieder zu entlassen und durch Männer zu ersetzen. In der Ersten Republik war sie zwischen 1918 und 1920 die erste und einzige weibliche sozialdemokratische Abgeordnete im Kärtner Landtag. Es wird vermutet, dass sie sich wegen der politischen Karriere ihres Mannes zurückzog. Ihr Ehemann war von 1921 bis 1923 der erste sozialdemokratische Kärntner Landeshauptmann. Anna Gröger folgte die Villacherin Dora Kircher im Kärntner Landtag. Diese beiden blieben die einzigen Frauen, die in der ersten Republik diese politische Funktion innehatten.